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Sospechosos Habituales

Hace mucho tiempo en la inhóspita blogosfera una panda de frikis creó Sospechosos Habituales. Desde aquel fatídico día nadie está libre de sospecha. No trates de disimular, si vienes mucho por aquí tu también serás un... Sospechoso Habitual


Teorema de Picard (II)


Siguiendo con el anterior artículo sobre el teorema de Picard, en este post deseo exponer, sin ánimo de ofender a nadie, los diferentes puntos de vista que tenemos los matemáticos y los ingenieros acerca de un mismo teorema.

A continuación, pongo el enunciado del teorema de Picard dado en clase de ecuaciones diferenciales de la FME.

Notación: el editor no me permite poner carácteres especiales, con lo que el conjunto de los reales lo pondré como "R" (con negrita), mientras que el rectángulo lo pondré como "R". Además, el espacio de los reales de n componentes lo escribiré como "R^n".


Teorema de Picard

Sea f=f(t, x) una función definida como
f: A c RxR^n ---> R^n, A abierto, f continua y localmente Lipschitz (*) respecto de x (**).

Dados (t0, x0) de A (las condiciones iniciales), sean a, b > 0 tales que el conjunto:
R(a,b)(t0, x0) = {(t, x) de RxR^n | |t-t0|<=a, |x-x0|<=b} (***) está completamente contenido en A. Definimos M:=sup|f(x, t)| (****), (t, x) pertenecen a R(a,b)(t0, x0), y d:=min{a, b/M}, d > 0 (*****).

Entonces: existe una única solución x=x(t) del problema de valores iniciales x'=f(t, x) (******), x(t0)=x0, definida por valores de t pertenecientes al intervalo [t0-d, t0+d].


Aclaraciones:
(*) Una función es localmente Lipschitz si y sólo si para todo compacto K, la función es Lipschitz dentro de ese compacto.
(**) Una función es Lipschitz (o localmente Lipschitz) respecto a x si es Lipschitz (o localmente Lipschitz) dejando la variable t fijada.
(***) R(a,b)(t0, x0) es el rectángulo de lados a y b centrado en el punto (t0, x0) si pensamos en dos dimensiones.
(****) sup|f(x, t)| es el supremo de los valores de f(x, t) tomados con la la norma que corresponde en R^n.
(*****) min{a, b/M} elige el mínimo valor entre a y b/M
(******) x'=f(t, x) es una ecuación diferencial ordinaria.



Para enunciar (sólo enunciar) todo este teorema, nos pasamos una hora y media de clase dando definiciones para llegar a comprender todas las hipótesis que impone. Sin embargo, luego vamos a clase de teoria de sistemas lineales en el ETSEIB y dan el mismo teorema del siguiente modo:


Teorema de Picard

Sea f=f(t, x) una función de clase C infinito.
Entonces: existe una única solución x=x(t) del problema de valores iniciales x'=f(t, x), x(t0)=x0.


Aclaraciones:
(*) Una función C infinito es una función que puede derivarse siempre y cuyas derivadas son todas continuas.



Y se quedan tan anchos. Es cierto que una función C infinito cumplirá también todas las hipótesis que se mencionan en la versión matemática, y también que la mayoría de funciones con las que se tratarán serán direcamente C infinito. Sin embargo, ¿era necesario ser tan poco precisos? ¿No ven que hay funciones que cumplirán las hipótesis exactamente y no tienen porqué ser C infinito?

Luego se extrañan si el edificio del ETSEIB está hecho como está. Por algo será...

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Sospechoso: (Denúnciame)

Fichado el día 30 septiembre 2006 a las: 15:30


  • Hla!!!

    Jajajaja bo el text :P

    ais ais... aquestes "petites" diferencies entre un mateix teorema...

    B, doncs nuse k escriure, k m'ha fet gràcia i k espero aviat poder arribar a entendre b, el Tma i donar-lo a classe :)

    Un peto

    Por Anonymous Epsilon @ 30/9/06 4:14 p. m.  


  • Me lo temía, que habría segunda parte...

    Por Blogger Fernando* @ 1/10/06 6:26 p. m.  


  • os perdéis la demostración explicativa del profesor de ETSEIB:
    * si tenemos flechitas en un plano, muchas flechitas, si pensamos un poco podemos juntar todas las flechitas con curvas sin que se corten.

    Por Blogger metge @ 2/10/06 12:06 p. m.  


  • El punt intermig, el Teorema de Picard a la Llicenciatura de Física (UAB):
    Si f(x, y)i Dy(x,y)son funcions contınues en un rectangle tancat
    R; per a cada punt (x0, y0)de l’interior de R existeix un interval I centrat
    a x0 i una unica corba integral y(x) solucio de l’equacio dy/
    dx = f(x, y), que
    satisfa el problema de valors inicials y(x0) = y0.

    Por Anonymous Anónimo @ 24/1/08 6:48 p. m.  


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